二次函数解析式方法

二次函数解析式方法

二次函数

二次函数解析析常用的有两种存在形式：一般式和顶点式.

（1）一般式：由二次函数的定义可知：任何二次函数都可表示为y=ax2+bx+c(a≠0),这也是二次函数的常用表现形式，我们称之为一般式.

(2)顶点式：二次函数的一般式通过配方法可进行如下变形：

y=ax2+bx+c=a(x2+ )=a[x2+ ]=(a+ )

由二次函数图象性质可知：（－ ）为抛物线的顶点坐标，若设

－ =h, =k，二次函数的解析式变为：y=a(x－h)2+k(a≠0),其中（h,k）为抛物线的顶点坐标，所以，称y=a(x－h)2+k(a≠0)为二次函数的顶点式.特别地，当顶点在y轴上时，h=0，顶点式为y=ax2+k；当顶点在x轴上时，k=0，顶点式为y=a(x－h)2；当顶点在原点时，h=k=0，顶点式为y=ax2.

求二次函数解析式时，有时也用到二次函数的第三种存在形式——两根式，现对有关两根式的内容补充如下：

先对二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的右边进行因式分解如下：

y=ax2+bx+c=a( )

=a[ ]

=a[ ]

=a[(x+ )2－( )(b2－4ac>0)

= a(x+ － )( 2

=a(x－

其中 （b2－4ac>0）是ax2+bx+c=0的两根，若设x1= ,x2= ,则y=ax2+bx+c(a≠0)可化为y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，因为x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根，所以我们称y=a(x－x1)(x－x2)为二次函数的两根式.

当已知二次函数的抛物线与x轴交点坐标时，选用两根式y=a(x－x1)•(x－x2)求解比较简单，可先把两点坐标代入解析式，再由第三个条件求出a，即可得出解析式.

综合前面所述，在确定抛物线的解

这个不是三元一次，解这个很经典，给三个点就能解了。

代入（0,2）先，解出c=2

所以y=ax²+bx+2

再代入（2,0）得到0=4a+2b+2①

再代入（-1,0）得到0=a-b+2②

解①②就当解二元一次方程方程组

最后解出a=-1

b=1

所以a=-1

b=1

c=2

所以二次函数解析式为y=-x²+x+2

关于二次函数的解析式，我没有什么长篇大论，精炼而扎实基础才能有利于提高阿

二次函数一般形式：y=ax2+bx+c

（已知任意三点）

顶点式：y=a(x+d)2+h

(已知顶点和任意除顶点以外的点）

有的版本教材也注

原理相同

例：已知某二次函数图像顶点（-2，1）且经过（1,0)，求二次函数解析式

解：设y=a(x+2)2+1

注意：y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标

由于

二次函数图像过点（1，0）

因此

a*3的平方+1=0

解得a=-1/9

所以所求作二次函数解析式为

y=-1/9(x+2)2+1

(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式）

两根式：已知函数图像与x轴两交点与另外一点

首先必须有交点(b2-4ac>0)

y=a(x-x1)(x-x2)

其中x1,x2是图像与x轴两交点

并且是ax2+bx+c=0的两根

如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点

利用根与系数的关系

例：y=x2+4x+3与x轴的一个交点是（-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标

解：由根与系数的关系得：

x1+x2=-b/a=-4

则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3

所以与x轴的另一交点坐标为（-3,0)

另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得

y=a(x-2)2+b(x-2)+c

再向下平移2个单位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2

1.已知抛物线经过点A（-2，4）B（1，4）

C（-4，-6)

，求此抛物线的解析式。

2.已知抛物线过（1，0）

（3，-2）（5，0），求此抛物线的解析式。

3.已知二次函数的图像以直线x=2为对称轴，且经过A（6，-4）和B(3,11)2点，求此二次函数解析式。

4.二次函数的图像过点（3，0），（2，-3），对称轴为x=1，求此二次函数解析式。

5.二次函数y=ax²+bx+c=0，x=-2时，y=10：x=3时，y=24，求此函数的解析式。

6.抛物线的顶点为（2，-3），且过(-1,2），求次抛物线的解析式。

7.二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=3，最小值为-2，且过（0，1），求此函数的解析式。

8.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0：x=4时，y有最大值为8，求此函数的解析式。

9.二次函数y=ax²+bx+c，当x＜6时y随x的增大而减小，x＞6时，y随x的增大而增大，其最小值为-12，其图像与x轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

10.二次函数y=ax²+bx+c右边的二次三项式的两根分别为-3和-1，且x=-4时，y=10，求此函数的解析式。

11.抛物线与x轴的两个交点横坐标为-3和1，且过点（0，-2/3），求此抛物线的解析式。

12.二次函数x=-2时，y有最小值为-3，且它的图像与x轴的两个交点的横坐标的积为3，求此函数的解析式。

13.抛物线的顶点为（-1，-8），它与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

14.求抛物线y=x²-2x-1，关于x轴对称图形的解析式。

15.已知二次函数y1=ax²+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像交与两点A（-2，-5)

和B(1，4），且与二次函数图像与y轴的交点在直线y=2x+3上，求着两个函数的解析式。

16.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与y=-x²-3的图像形状相同，开口方向相同，图像又经过(-1，0）、（0，6），求这个二次函数的解析式。

答案：1.2两题都用Y=AX2+BX+C三元一次方程组

3。Y=A(X-2)2+K二元一次方程组

4。Y=A(X-1)2+K二元一次方程组

5。缺一条件，打漏几个字

6

Y=A(X-2)2-3一元一次方程

7.二次函数y=a（x-3）²-2一元一次方程。

8.二次函数y=a（x-4）²+8，x=6时，y=0：一元一次方程

9二次函数y=a（x-6）²-12，x=8时，y=0：一元一次方程

10.二次函数y=ax²+bx+c=a（X+3）（X+1）且x=-4时，y=10，一元一次方程

11.二次函数y=ax²+bx+c=a（X+3）（X-1）且过点（0，-2/3），一元一次方程

12二次函数y=a（x+2）²-3，一元一次方

13二次函数y=a（x+1）²-8

14.求抛物线y=x²-2x-1，关于x轴对称图形的解析式y=-x²+2x+1

15.已知二次函数y1=ax²+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像交与两点A（-2，-5)

和B(1，4），可得y2=mx+n的解析式且与二次函数图像与y轴的交点在直线y=2x+3上，求得二次函数y1=ax²+bx+c函数的解析式。

16.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与y=-x²-3的图像形状相同，开口方向相同，得A=-1图像又经过(-1，0）、（0，6），求得二次函数y=ax²+bx+c的解析式。