怎样证明圆周角定理

怎样证明圆周角定理

圆周角度数定理的另一种证明方法

圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考．

求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．

已知：⊙o中，∠aob和∠acb分别是

所对的圆心角和圆周角．

求证：∠aob=2∠acb

证明：当圆心o在∠acb的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．

当圆心o在∠acb的外部时，如图(2)．联结oc．

∵oc=ob，oc＝oa

∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc

∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°

∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc

∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb

∴∠aoc-∠boc

=180°-2∠oca-180°+2∠ocb

∴∠aoc-∠boc

=2(∠ocb

-∠oca)

∵∠aoc-∠boc=∠aob，∠ocb

-∠oca=∠acb

∴∠aob=2∠acb；

当圆心o在∠acb的内部时，如图(3)．联结oc．

∵oc=ob，oc＝oa

∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc

∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°

∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc

∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb

∵∠aoc+∠boc+∠aob

=360°

∴∠aob=360°-∠aoc-∠boc

∴∠aob=360°-180°+2∠oca-180°+2∠ocb

∴∠aob=2(∠oca+∠ocb)

∵∠oca+∠ocb

=∠acb

∴∠aob=2∠acb

；

综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半