2013年广东省高考数学理科试题及答案

2013年广东省高考数学理科试题及答案

绝密★启用前试卷类型：A

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学（理科）

参考公式：台体的体积公式，其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合M={xx2+2x=0,x∈R}，N={xx2-2x=0,x∈R}，则=（）

A．{0}B．{0，2}C．{-2,0}D．{-2,0,2}

2．定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

3．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）

A．（2,4）B．（2,-4）C．(4,-2)D．(4,2)

X123P

4．已知离散型随机变量X的分布列如右表，则X的数学期望E（X）=（）

A．B．2C．D．3

5．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（）

A．4B．C．D．6

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）

A．B．C．D．

8．设整数n≥4，集合X={1，2，3…，n}．令集合S={（x,y,z）x，y，z∈X，且三条件xyz,yzx，zxy恰有一个成立}，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是（）

A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）?SB．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C．（y，z，w）?S，（x，y，w）∈SD．（y，z，w）?S，（x，y，w）?S

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9~13题）

9．不等式x2+x-20的解集为．

10．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．

11．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．

12．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=_______．

13．给定区域D：，令点集T={(x0,y0)∈Dx0,y0∈Z}是z=x+y

在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定____条不同的直线．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为

（t为参数），C在点（1,1）处的切线为L，一座标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标，则L的极坐标方程为_________________．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB是⊙O的直径，点C在⊙O

上，延长BC到D是BC=CD，过C作⊙O的切线交AD于E．

若AB=6，ED=2，则BC=______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

16．（本小题满分12分）已知函数．

（1）求的值；

（2）若，求．

17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？

（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．

图4

18．（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎，其中．

（1）证明：⊥平面BCDE；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）设数列的前n项和为Sn，已知．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有．

20．（本小题满分14分）已知抛物线c的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L：x-y-2=0的距离为．设P为直线L上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P（x0，y0）为直线L上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线L上移动时，求AF·BF的最小值．

21．（本小题满分14分）设函数．

（1）当k=1时，求函数的单调区间；

（2）当k∈时，求函数在[0,k]上的最大值M．

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案

数学（理科）

一、选择题

1-5．DCCAB6-8．DBB

二、填空题

9．(-2,1)10．-111．712．2013．614．15．

三、解答题

16．（1）由题意

（2）∵，∴．

∴

∴

．

17．（1）样本均值为．

（2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为，

故12名员工中优秀员工人数为（人）．

（3）记事件A为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，

由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故

事件A发生的概率为，

即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为．

18．（1）折叠前连接OA交DE于F，

∵折叠前△ABC为等腰直角三角形，且斜边BC=6，

所以OA⊥BC，OA=3，AC=BC=

又

∴BC∥DE，

∴OA⊥DE，

∴AF=2，OF=1

折叠后DE⊥OF，DE⊥A′F，OF∩A′F=F

∴DE⊥面A′OF，又

∴DE⊥A′O

又A′F=2，OF=1，A′O=

∴△A′OF为直角三角形，且∠A′OF=90°

∴A′O⊥OF，

又，且DE∩OF=F，

∴A′O⊥面BCDE．

（2）过O做OH⊥交CD的延长线于H，连接，

∴OH=AO=，

∵∠A′HO即为二面角的平面角，故cos∠A′HO=．

19．（1）令中n=1得∴

（2）由；得

∴

两式相减得

∴

∴

∴，∴

又由（1）知

∴∴．

∴．

（3）∵

∴

20．（1）依题意得，∴．

∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x2=4y

（2）设A（x1，），B（x2，），∴可设A、B中点坐标为M

所以直线PA：，直线PB：

两式相减得

∵，∴，

∴，∴

将P（，-2）带入PA：得

∴

∴

∴A、B中点坐标为M（，）

∴直线AB的斜率

故直线AB的方程为．

（3）由于A点到焦点F的距离等于A点到准线y=-1的距离，

∴AF=，BF=

∴当时，取最小值．

21．（1）k=1时

∴

当x0时，故,单调递增；

0xln2时，故，单调递减；

xln2时，故，单调递增；

综上，的单调增区间为和，单调减区间为．

（2）

∵，∴

由（1）可知的在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，+∞）上单调递增

设

则

∵，∴，∴

∴在上单调递减．

∵，∴

∴即

∴的在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，k）上单调递增．

∴的在[0，k]上的最大值应在端点处取得．

而，

∴当x=0时取最大值．