11. 如图,已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD是边长为2的棱形,∠ABC=60°,侧面SAD为正三角形,侧面SAD⊥底面ABCD,M为侧棱SB的中点,E为线段AD的中点. (Ⅰ)求证:SD∥平面MAC; (Ⅱ)求证:SE⊥AC; (Ⅲ)求三棱锥M-ABC的体积.
的有关信息介绍如下:分析 (Ⅰ)连接BD交AC于O,连接MO,由三角形中位线定理可得OM∥SD,然后由线面平行的判定得答案;
(Ⅱ)由侧面SAD为正三角形,E为线段AD的中点,可得SE⊥AD,结合侧面SAD⊥底面ABCD,得SE⊥底面ABCD,则SE⊥AC;
(Ⅲ)由已知求出${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,再由M为SB的中点,得M到底面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,代入三棱锥体积公式求得答案.
解答 (Ⅰ)证明:连接BD交AC于O,连接MO,
∵底面ABCD是菱形,∴O为BD的中点,又M为侧棱SB的中点,
∴OM∥SD,
又OM?面MAC,SD?面MAC,
∴SD∥平面MAC;
(Ⅱ)证明:∵SAD为正三角形,E为线段AD的中点,
∴SE⊥AD,
又侧面SAD⊥底面ABCD,且侧面SAD∩底面ABCD=AD,
∴SE⊥底面ABCD,而AC?底面ABCD,
∴SE⊥AC;
(Ⅲ)解:∵底面ABCD是边长为2的棱形,∠ABC=60°,
∴△ABC为边长是2的正三角形,则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,
又△SAD为边长是2的正三角形,∴SE=$\sqrt{3}$,
由(Ⅱ)知SE⊥底面ABCD,即S到底面的距离为$\sqrt{3}$,
∵M为SB的中点,∴M到底面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴${V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$.
点评 本题考查直线与平面平行的判定,考查了棱锥体积的求法,考查空间想象能力和思维能力,属中档题.