欧拉线的详细证明方法？

欧拉线的详细证明方法？

欧拉线是三角形中的一条特殊直线，连接三角形重心、垂心和外心。以下是欧拉线的证明方法：

1. 连接三角形ABC的重心G和垂足H，并延长GH交圆O于点P。

2. 由于G是重心，所以AG、BG、CG分别平分BC、AC、AB。又因为H是垂足，所以AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。

3. 因此，在△ABH和△ACH中有AH=HC（共边），∠AHB=∠AHC=90°（均为直角），而且∠BAH=∠CAH（两个等腰三角形）。根据这些条件可以得出：△ABH≌△ACH。

4. 由于O在外接圆上，则OA=OB=OC=r（r为外接圆半径）。又因为AP=GK+KH+HP=(2/3)AG+(2/3)HG+(1/3)OH=(2/3)(GH+OH)+(1/3)OH=(2/3)(R)+(1/3)R=R

5. 所以OP=R=r。也就是说，P在外接圆上。

6. 又因为OG与PH互相平行，则OG ⊥ AP。同时注意到OG = (2 / 3 ) GH, PH = ( 2 / 3 ) OH, AP = ( 4 / 9 ) R, 所以OG = ( 2 / 3 ) GH = (1/3) AP。

7. 因此，G、H、O三点共线，即GH经过圆心O。这条直线就是欧拉线。

证毕。