数学分析

数学分析

如何提高自身数学分析水平？

SCIbird 博士数学论坛 原创

论坛上朋友们的请求,说说我自己的数分学习经历和心得,以供大家参考.

首先声明:世上没有万能的方法,任何一种方法都有其局限性和适用范围,所以对SCIbird

说的话要辩证的看,取其精华.类似的,如果你在某本书里看到类似"放之四海皆真理的话"

那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了.

正如题目所写的,本文讲述的是"如何提高自身数学分析水平"也就是说,本文是针对已经学过数分,但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的.一点个人心得,希望能给需要帮助的人指引下方向.说是对数分的,但其实对其它数学科目也有参考意义.只是我对分析比较熟悉,故举的例子多是分析方面的.

首先,我们要端正一个态度,即对于一个定理或一个问题,我们不应该用做考试题的态度来对待,而应该用研究数学问题的态度来对待.尽量挖掘出新的东西,而不局限于问题中的结论本身.具体说来,如下:

研究问题,笼统说多是关于存在性,唯一性,条件充不充分,必不必要,有无充要条件等等.

这些泛泛的说法大家也许都知道,也有道理,不过就是不知道具体该怎样做.下面我就详细说下这些年自己的心得体会,以供参考.

1.以几何直观做启发,大胆想象,严密论证.

分析界目前有这种不好的倾向,认为几何直观不严密,于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证,有的书上甚至一张图都没有.诚然,大学数学的一个特点是高度抽象性,而且几何直观确实不能代替严密的证明.但一味的强调抽象性,容易迷失方向,尤其是初学者,往往一头雾水,不知所云.其实,几何直观对许多分析定理有启发作用.很多定理可以从几何直观中观察出来,加以提炼,最后严格证明而上升为定理.举个例子:考虑费马引理,即可导函数的极值点处导数值为0.几何直观上,一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的,而且似乎不一定要求导函数连续,然后通过分析严格证明我们的猜想.

但是,问题就结束了吗? 我们能不能走的远点,上面说可导函数极值点导数为0,那么我们可以问导数为0是否就是极值点?什么时候有极值点? 前一个问题是否定的,导数为0点未必就是极值点. 至于后一个问题,条件可能不止一个.其中有一个比较特殊,我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.而对于非常数函数,如果最值在区间内部取得,它也是极值,如果f可导,则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值).一个条件是非常数可导函数的两端点相等,则区间内部必有最值点,因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理.我们又问了,这个条件必要吗?可以举出反例,这说明罗尔定理的条件只是充分条件. 类似的几何直观还很多,比如把图象旋转一下,罗尔定理就变成了拉格朗日定理,如果用参数形式表示拉格朗日定理,则就变成了柯西定理.当然,以上只是从几何直观做出的猜想,接下来必须严格的给予证明.

2.可以从多角度思考问题.

我们解决了一个好的问题后,不必立刻走开.可以再挖掘一下,看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下,结论还成立吗?原题条件是P1,我换个条件P2,结论还成立吗? 或者说,若不满足条件P1,结论还成立吗?

原问题条件太苛刻了,我削弱一下条件,结论成立否.原问题是3维的,换成n维情况还成立吗? 原问题要求函数f连续,我换成Riemann可积后,结论如何? 或者说原问题是与三角函数(涉及周期性)有关,我换成一般的周期函数后,结论如何? 或者说原命题是否有推广的可能.

举两个例子,比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换),通常要求是一致收敛.但一致收敛这个条件太强了,能否换成更一般的条件.于是阿尔泽拉定理就出现了,其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or谢惠民的书or微积分学教程)

所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann积分理论中的控制收敛定理)是如下形式:

所谓一致有界,即存在正数M>0,使得任取n,x∈[a,b]有|fn(x)|<=M.阿尔泽拉定理断言只需要可积函数列fn(x)点点收敛,即fn(x)→f(x),和一致有界,

及f(x)Riemann可积,便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (极限运算与积分运算交顺序)

熟悉Lebesgue积分的朋友们会发现,此定理就是实变中Lebesgue控制收敛定理的特例.相比之下多出的条件是要求"f(x)Riemann可积",这是因为极限函数未必是Riemann可积的.这一要求在Lebesgue积分理论中可以去掉,因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L积分相对于R积分的优越性).

其实从实变角度考察数分会有新的收获的,比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理.

另一个例子,我想举下傅立叶级数理论中的Riemann引理,即傅立叶系数趋于0的推广形式, 为

∫f(x)sin(λx)dx=0,当λ→∞时. 我们可以猜想,如果我们用更一般的周期函数g(x)来代替sinx,结果如何,

即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx∫[a,b]f(x)dx (T为g(x)的周期)

这就是后来称为Riemann-Lebesgue引理的东西.08年北大的第9题考察的就是这个推广后的Riemann-Lebesgue引理.(简单情况可以取λ=n)

其实,傅立叶级数有许多精彩的理论,大家可以尝试用一般的周期函数代替三角函数推广下.(这种推广不一定都行的通,只是提供一种可能的思路)

我这个帖子是谈如何提高数学修为的,而不是针对考研的(虽然考研的朋友们可以借鉴),这个帖子只是给考研人一个参考而已.坦白说,研究数学与考研经常是矛盾的,这也是不少高手或老师不屑考研的一个原因.关于考研,我在局外人看北大那个帖子里谈了我的看法(那个是针对考研的).

另外,提高数学水平确实费时间,数学王国无皇家大道.除非你在数学方面天赋异禀,否则还是自己多花些功夫为好.我自己觉得我在微积分方面是个数分先天者了,但我今天的数学修为也是苦修来的.比如说,我经常看到有的人抱怨张筑生老师写的<数学分析新讲>太难了,后来我都懒的回帖争论了.我大二买的"新讲",前后反反复复看了能有20遍,虽然不是每次都仔细研读吧,但有几人像我这样.我对新讲中的定理具体在哪块(甚至页码)已经十分熟悉了,就差把这套书背下来了.我觉得任何人只要把一本数分书看上20遍,就不怕水平不提高.

我的信条是:重复是记忆的最佳方法,熟能生巧.

倘若不是我把新讲看上20遍,现在的SCIbird的数分水平仍然是个半吊子,看北大的题仍然觉得是看天书. 我是自学数分的,从没受过哪个人指导,与数学系出身的相比是走了不少冤枉路,浪费了不少时间.但我从不后悔看新讲那20遍,没那20遍我就不能打下扎实的基础,就不可能在2个月内利用业余时间自学完了实变函数.看过我写过的试题证明的朋友们,会觉得我写的笔墨比较多,但还算比较通俗,而且使用的方法也很朴素(以致于被一些朋友认为方法俗套,sigh!).这是因为"新讲"对我的风格影响很大,说实话,以前的我风格与现在完全相反.

讲一段真实的故事:

高中时代的我搞过奥赛,那时的我崇尚证明的华丽和玄乎,喜欢玩技巧!-----我称之为浪漫主义风格.对一些很朴实的方法,反到认为罗唆和水平低.常以擅长华丽的技巧和高深的理论(相对高中来说,主要是竞赛方面)而自居,重证明,轻计算.其直接后果是高考数学考的一塌糊涂.上了大学后,尤其是看了张筑生老师的<新讲>后我的认识有了改变:证明简洁不代表深刻, 证明技巧性很强因而短,不代表具有一般性.写的少,未必就是一个好的证明. 而现在的我有点"重剑无锋"的味道了,呵呵,这与新讲的风格很相近.

至于挖掘新东西费时间,这是正常的,等你念研究生就能深刻体会到了.属于自己的东西才能理解的更深刻.发现的结果与前人撞车不要紧,可以这样YY:当年Newton,Gauss,Euler也发现过,我和他们当年一样......

而且一段时间以后发觉自己连亲自发掘的东西都记不清了的时候，真是好郁闷-----你缺乏总结, 很多人不喜欢归纳总结甚至鄙视归纳总结,这是不对的.当你归纳总结知识(不论是别人的还是自己的)后,你会有一个整体的认识.一味的做题而不总结,每一次都是局部的,只见树木不见森林,久而久之,反倒迷失了方向.

最后,祝你和其他朋友们金榜题名!Bless All!

越来越感到张筑生老师生前的话了,写数学书不容易啊(写数学文章何尝不是呢).写深了点儿,有的人觉得难;写浅了点儿,有人觉得太简单;写专业点儿,版上有不少和我一样本身不是数学专业的,看不懂;写多了,有人觉得罗唆;写少了,有人往往不知所云.要照顾到不同层次读者真是一件很困难的事情,确实,让别人明白自己在说啥是个难题!

毕竟咱不是大师,不可能三言两语就把问题说清楚,因此多说还是比少说不说好些.至于,举例子,采取这样的方式,我一般举两个例子,一个难的,一个简单的.简单的我尽量限制在数分范围内,而且尽量举比较容易理解的例子.由于例子是现想的,可能不是最恰当的.

3.勤动手算,勤动手推导,在算例中发现规律.

目前有一个糟糕的现象,工科的生偏爱计算,见到证明题就头大;数学系的偏爱证明,对计算不屑.其结果是走两个极端,工科的证明水平比较低,数学系的计算能力比较差.记得上研究生数值分析A时,身边一个mm抱怨老师"讲那么多理论干嘛,只要告诉我怎么算就行了",而且很理直气壮,很强大.(听的我直冒汗) . 又惊闻某实验班学数学分析,结果有的学生算个定积分做不出来.我觉得十分有必要扭转这种不好的现象.证明和计算是统一的,而不应该人为的割裂开.

很多数学定理的发现或者证明确实是算出来的,即便将来打算搞基础数学,适当加强自己计算能力也是有好处的.有些东西你不亲自动手算算,你是看不出规律的.你不积累,如何爆发!

回顾历史,许多大数学家都是擅长计算的,比如偶的偶像Gauss吧,后半辈子在搞天文.那时没计算机,基本靠手算.天文数字,很好算吗? 不过后人整理Gauss的手稿时,发现他很少有算错的.Gauss自己说过他当初如何发现被后人称为"素数定理"的东西,他说他当时计算了3000000以内(好像是这个数,记不清了)的所有素数,然后猜出来的结果.

素数定理:记π(x)表示不超过x的素数的个数,Gauss猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1.

这个定理是渐进(x→+∞)意义下的,近似程度不是很高(不实用).我们一方面惊叹Gauss惊人的洞察力的同时,还需要看到:如果不是Gauss事先计算了大量的素数,他也不可能发现观察出素数分布频率来.

再举个大家熟悉的例子,比如微分学中两个函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式.这个公式证明不是很复杂,结论也不是很难记.不知大家有没有算过?

对uv求n阶导数(uv)^(n):首先,我们知道 (uv)'=u'v+uv',反复应用这个公式就能求出任意阶导数.如果你有耐心,计算次数比较多(如3次,4次,5次.....),合并结果中的同类项后,你会发现两个规律.(1)各项系数是二项式系数(or杨辉三角);(2)u,v导数阶数之和都为n. 如果你记忆力足够好或高中学的扎实,你会立刻发现这很像二项式展开式.so 你可以大胆的猜想结果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k为二项式系数. 这就是后来的莱布尼茨的公式.然后你可以尝试用数学归纳法严格证明它.

并不是所有的数学定理都隐藏的很深,很难发现规律.数学有时候也很简单.

"我觉得跟你看张筑生的书关系不大，主要还是你的数学水平提高了。"-----呵呵,竟然有比我自己还了解自己的. 事实上,肯定与我自身水平提高有关,因为我说过数学是一个整体.新讲对我的影响太大了,已经渗透到我的方法,思想,甚至精神当中了!!因此我说新讲对我的水平影响最大不为过.

至于两个月自学实变,是这样的.我实变是奥运期间自学的,学的不是特别深,也没怎么做题.

这里多说两句,分享一些心得.

当初主要感觉从传统角度学数分遇到了瓶颈,听说实变从一种新的角度看微积分,而且很本质.当时清华这边有实变函数学实变之说,所以还是很小心的看的.也不指望一遍能看懂,因为我对积分论那部分更感兴趣,测度论简单看看,记了下主要性质就过去了.

我多次在文章中说过,数学是一个整体的,不同学科是相通的.

就测度这块吧,为啥研究它.最初是为了研究积分而自然提出的,∫[a,b]f(x)dx = ?

结果是多少先不管,首先这个积分得有意义.从几何上看积分的几何直观就是曲线与x轴所围成的"曲边梯形"的面积.于是就提出什么时候"有面积"? 于是我们必须先澄清"面积"这个概念,推广面积就得到了测度.如果你数分学的比较好,应该学过约当测度,它初步探讨了面积.

在我看来,约当测度是一种外测度和内测度,Lebesgue测度的思想可以看成是约当测度的推广.既然是测度是面积的一种推广,它就应该有兼容性,即常见的规则图形长度,面积,体积结果都成立.比如:区间[0,1]长度为1,长方形面积为S=ab等等.

Lebesgue要建立自己的理论,就要推广约当测度.我想最初大致思路是这样的:1)承认外测度和内侧度仍然有效;2)推广外测度的可加性,由有限可加性到无限可加性,这种推广为啥只到可数可加性呢? 这样想,首先单点集的测度为0,若是不可数可加性,你就得到区间[a,b]的测度也为0,这与最初设计测度的兼容性想法相矛盾!于是无限只能到可数可加性为止.

但这样就OK了吗? 如果你学数学时多留心的话,你发现有的概念定义很怪,有的条件貌似很烦人.这多半是为了排除一些bt的反例而人为加上的.我们记约当测度为J测度,Lebesgue测度为L测度.

J测度是用外压和内挤来定义的(外测度=内测度),很类似达布上和与下和,这实际上是逼近的思想(数分的核心思想).但有一个问题,有的图形它没有内部,你无法从内部逼近.那只考虑外测度行不? 不行,因为有反例:存在两个不交的集合A,B.其并集的外测度不等于外测度之和,这与我们通常的认识相违. 于是,退而求其次,即"改造"内测度.我们定义点集E(含于区间[a,b]内)的外侧度,考虑其覆盖(一堆区间)面积的下确界,外测度记为m(E),这无论E有无内部都能做到.在考虑E的相对补集E^c = [a,b]-E的外测度,内测度定义为n(E) = (b-a)-m(E^c).当m(E) = n(E)时,就称E为Lebesgue可测的,其测度为公共值m(E).这说明内测度是用外测度诱导出来的(间接调用外测度),一举两得.

上面的关于外测度和内测度引入思想还是比较自然的,关于lebesgue测度的那些基本性质也很显然.但是这些基本性质的证明却很晦涩.我采取的方式是承认这些测度的基本性质(会用),以后再补上证明.相当于某种程度上避开了令初学者恐惧的测度论.

数学分析中的题目需要推理论证的占了绝大多数，与高等数学题目的不同也体现在这：数分题偏重论证，高数题偏重计算。

所以平时要注意培养自己推理论证的能力，当拿到数分题的时候就要先认真读懂题目，找出已知条件，明确要证明的方向，对解题中要用到的定理和有用的结论做到心中有数，然后就开始论证。做题过程就是一个人数学思想的流露过程。

个人认为还是要多思考书中定理，例题的证明原理；课后的练习题最好自己动手做，然后对照答案找出自己证明过程中的不足加以改善；另外一些有用的结论要熟记于心。数学分析很难学，但付出总有回报，多努力了。

就看你的基础扎实不扎实，代数、离散等基础课会了，分析便是各科的大综合！

多问问老师会好的 自己买本书做做 把错的保留下来看看错哪 下次不要错了

你能把100分给一楼我就服了你

你能把楼上的全部看完 我真的就佩服你了